Question

如图，点F（a，0）（a＞0），点P在y轴上运动，点M在x轴上运动，点N为动点，且．
（1）求点N的轨迹C；
（2）过点F（a，0）的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A、B两点，设K（-a，0），的夹角为θ，求证．

Answer

（1）先设点N（x，y），然后可以得到向量、，进而根据、可得答案．
（2）先设出直线方程，然后和（1）中所求的轨迹方程联立得到两根之和与两根之积，进而由得到答案．
【解析】
（1）设N（x，y）∵
∴M（-x，0），P（0，）=（-X，-），=（a，-）
∵∴=-ax+=0
∴y2=4ax

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）
∴直线l：y=k（x-a）=（x1+a，y1）=（x2+a，y2）
联立∴ky2-4ay-4ka2=0
∴，y1y2=-4a2，x1x2=a2，
∴=（x1+a）（x2+a）+y1y2=x1x2+a（x1+x2）+a2+y1y2
=2a2+-4a2=-2a2=2=＞0
∴cosθ＞0∵θ∈[0，π]∴θ∈（0，）