Question

设椭圆C₁：的左、右焦点分别是F₁、F₂，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C₂：y=x²-1与y轴的交点为B，且经过F₁，F₂点．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C₂上的一动点，过点N作抛物线C₂的切线交椭圆C₁于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）抛物线C2：y=x2-1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．求出B，F1，F2点的坐标，即可求出椭圆的半长轴与半焦距，再求出a写出椭圆方程．
（Ⅱ）设N（t，t2-1），表示出过点N的抛物线的切线方程，与椭圆的方程联立，利用弦长公式表示出线段PQ的长度，再求出点M到直线PQ的距离为d，表示出△MPQ面积，由于其是参数t的函数，利用函数的知识求出其最值即可得到，△MPQ的面积的最大值
【解析】
（Ⅰ）由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2．
令y=0得x2-1=0即x=±1，则F1（-1，0），F2（1，0），故c=1．
所以a2=b2+c2=5．于是椭圆C1的方程为：．（3分）
（Ⅱ）设N（t，t2-1），由于y'=2x知直线PQ的方程为：y-（t2-1）=2t（x-t）．即y=2tx-t2-1．（4分）
代入椭圆方程整理得：4（1+5t2）x2-20t（t2+1）x+5（t2+1）2-20=0，△=400t2（t2+1）2-80（1+5t2）[（t2+1）2-4]=80（-t4+18t2+3），，，
故=．（7分）
设点M到直线PQ的距离为d，则．（9分）
所以，△MPQ的面积S====（11分）
当t=±3时取到“=”，经检验此时△＞0，满足题意．
综上可知，△MPQ的面积的最大值为．（12分）