Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁F⊥CD，如图2．
（Ⅰ）求证：DE∥平面A₁CB；  
（Ⅱ）求证：A₁F⊥BE．

Answer

（Ⅰ）由D，E分别是AC，AB上的中点，结合中位线定理和线面平行的判定定理可得结论；
（Ⅱ）由已知易得对折后DE⊥平面A1DC，即DE⊥A1F，结合A1F⊥CD可证得A1F⊥平面BCDE，再由线面垂直的性质可得结论．
证明：（Ⅰ）∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC，
∵DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，
∴DE∥平面A1CB，
（Ⅱ）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，
又DE⊥CD，A1D∩CD=D
∴DE⊥平面A1DC，
∵A1F⊂平面A1DC，
∴DE⊥A1F，
又∵A1F⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE⊂平面BCDE；
∴A1F⊥平面BCDE
又∵BE⊂平面BCDE
∴A1F⊥BE．