Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=24，S₁₁=10．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）当n为何值时，S_n最大，并求S_n的最大值．

Answer

（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，可得，进而可得数列{an}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an=48-8n，a1=40，代入求和公式即可；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得Sn=-4n2+44n，由二次函数的知识可得答案．
【解析】
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，依题意有，
解得，
∴数列{an}的通项公式为：an=40-8（n-1）=48-8n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴an=48-8n，a1=40，
故Sn===-4n2+44n
（Ⅲ）由（Ⅱ）有，Sn=-4n2+44n=-4+121
故当n=5或n=6时，Sn最大，且Sn的最大值为S5=S6=120．