Question

如图，已知椭圆的左、右焦点分别为F₁（0，c）、F₂（0，-c）（c＞0），抛物线P：x²=2py（p＞0）的焦点与F₁重合，过F₂的直线l与抛物线P相切，切点E在第一象限，与椭圆C相交于A、B两点，且=．
（1）求证：切线l的斜率为定值；
（2）若动点T满足：，且的最小值为，求抛物线P的方程；
（3）当λ∈[2，4]时，求椭圆离心率e的取值范围．

Answer

（1）由椭圆的左、右焦点分别为F1（0，c）、F2（0，-c）（c＞0），抛物线P：x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，知抛物线P：x2=4cy．设过F2的直线l的方程为y+c=kx，联立，得x2-4kcx+4c2=0，利用韦达定理能证明切线l的斜率为定值．
（2）设EO=t，由，知T在线段EO上移动，故，由的最小值为，得到t=．由此能求出抛物线P的方程．
（3）由直线l的方程为y=x-．联立，得（2a2-5）x2-2（a2-5）x-（a2-5）2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．当λ=2时，x1=-2x2．当λ=4时，x1=-4x2．由此能求出椭圆离心率e的取值范围．
（1）证明：∵椭圆的左、右焦点分别为F1（0，c）、F2（0，-c）（c＞0），
抛物线P：x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，
∴，∴抛物线P：x2=4cy．
设过F2的直线l的方程为y+c=kx，
联立，得x2-4kcx+4c2=0，
∵过F2的直线l与抛物线P相切，切点E在第一象限，
∴，
解得k=1．
故切线l的斜率k为定值1．
（2）设EO=t，∵，
∴T在线段EO上移动，
∴，
∵的最小值为，
∴当||=||=时，的最小值=-=-，
∴t=．
∵过F2的直线l与抛物线P相切，切点E在第一象限，
∴由（1）知k=1，抛物线在E点处的导数，得E（p，），
由t2=P2+（）2=5，解得P=2，所以抛物线方程为，
∴抛物线P的方程为x2=4y．
（3）由（2）得c=，
∵直线l的斜率k=1，∴直线l的方程为y=x-．
联立，得（2a2-5）x2-2（a2-5）x-（a2-5）2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．
∵直线l与椭圆C相交于A、B两点，且=，λ∈[2，4]，
∴当λ=2时，x1=-2x2．
∴=-x2，=-2．
∴=-2•，解得a=，e==．
当λ=4时，x1=-4x2．
∴=-3x2，=-4．
∴=-4••，解得a=，e==．
∴椭圆离心率e的取值范围是[]．