Question

已知函数g₁（x）=lnx，g₂（x）=ax²+（1-a）x（a∈R且a≠0）．
（1）设f（x）=g₁（x）-g₂（x），求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g₁（x）的图象曲线C₁与函数g₂（x）的图象c₂交于的不同两点A、B，过线段AB的中点作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N．证明：C₁在M处的切线与C₂在N处的切线不平行．

Answer

（1）依题意，f（x）=lnx-ax2+（a-1）x，f′（x）=-，对a分a＞0，a=0与a＜0，三类讨论，对a＜0再根据1与-的大小关系分三类讨论即可求得答案；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），且不妨设0＜x1＜x2，则lnx1-lnx2=[a（x1+x2）+1-a]（x1-x2），假设C1在M处的切线与C2在N处的切线平线，则有=a（x1+x2）+1-a，与前式联立可得：=，设=t，（t＞1），则lnt+=2，构造函数g（t）=lnt+，可判断g（t）在（1，+∞）上递增，g（t）＞2恒成立．从而可证明C1在M处的切线与C2在N处的切线不平行．
【解析】
（1）∵f（x）=lnx-ax2+（a-1）x
∴函数f（x）的定义域是（0，+∞）…（1分）
由已知得f′（x）=-ax+a-1=-，…（2分）
①当a＞0时，令f′（x）＞0，解得0＜x＜1； 令f′（x）＜0，，解得x＞1．
∴函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减…（3分）
②当a＜0，时
①当-＜1时，即a＜-1时，令f′（x）＞0，解得0＜x＜-或x＞1；
令f′（x）＜0，解得-＜x＜1．
∴函数f（x）在（0，-）和（1，+∞）上单调递增，在（-，1）上单调递减…（4分）
②当-=1时，即a=-1时，显然，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增…（5分）
③当-＞1时，即-1＜a＜0时，令f′（x）＞0，解得0＜x＜1或x＞-；
令f′（x）＜0，解得1＜x＜-．
∴函数f（x）在（0，1）和（-，+∞）上单调递增，（1，-）上单调递减…（6分）
综上所述，（1）当a＞0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
（2）当a＜-1时，函数f（x）在（0，-）和（1，+∞）上单调递增，在（-，1）上单调递减；
（3）当a=-1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（4）当-1＜a＜0时，函数f（x）在（0，1）和（-，+∞）上单调递增，（1，-）上单调递减…（7分）
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），且不妨设0＜x1＜x2，则
y1=lnx1=a+（1-a）x1…①
y2=lnx2=a+（1-a）x2…②
由①-②得：lnx1-lnx2=[a（x1+x2）+1-a]（x1-x2）…③
假设C1在M处的切线与C2在N处的切线平线，则有=a（x1+x2）+1-a，
代入（3）化简可得：=，
即ln==，
设=t，（t＞1），上式化为：lnt==2-，…（11分）
即lnt+=2…（12分）
令g（t）=lnt+，g′（t）=-=，
∵t＞1，显然g′（t）＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上递增，
显然有g（t）＞2恒成立．
∴在（1，+∞）内不存在，使得lnt+=2成立．
综上所述，假设不成立．
∴C1在M处的切线与C2在N处的切线不平线…（14分）