Question

已知幂函数Y=f（x）的图象过点（3，），
（1）试求出此函数的解析式；
（2）写出此函数的单调区间；
（3）证明此函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．

Answer

（1）设出幂函数的解析式，将已知点的坐标代入，求出幂函数的解析式；
（2）由于幂指数小于0，求出单调区间．
（3）判断函数的单调性可以通过定义做，先取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，然后判定f（x1）-f（x2）的符号，根据定义进行判定即可．
【解析】
（1）设幂函数f（x）=xa，
则3a=，解得a=-1
∴f（x）=x-1；
（2）∴f（x）=x-1的单调递减区间是（0，+∞），（-∞，0）．
（3）取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，那么 f（x1）-f（x2）=，
∵0＜x1＜x2∴x1-x2＜0，x1x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x）在（0，+∞）内是减函数．