Question

已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，
（1）求区域D的面积
（2）设，求z的取值范围；
（3）若M（x，y）为D上的动点，试求（x-1）²+y²的最小值．

Answer

（1）作出题中不等式组对应的平面区域，得到如图所示的直角梯形OABC及其内部，其中A（，1），B（，2），C（0，2），由梯形面积公式即可算出区域D的面积；
（2）将目标函数对应的直线进行平移，可得当x=，y=2时z达到最大值；当x=y=0时z达到最小值．由此即可得到z的取值范围；
（3）设N（1，0），可得（x-1）2+y2表示N、M两点之间的距离平方值，运动点M可得当M在OA上且MN⊥OA时，MN取到最小值．因此结合点到直线的距离公式，即可算出（x-1）2+y2的最小值．
（1）由不等式组表示的平面区域，得到四边形ABCO及其内部，
其中A（，1），B（，2），C（0，2）
∴平面区域D是如图所示的直角梯形OABC，其面积为
S=（AB+CO）×BC=（3分）
（2）将对应的直线l进行平移，可得
当l经过点B时，z达到最大值；当l经过点0时，z达到最小值
∴zmax=×+2=4，zmin=0
由此可得，z的取值范围是[0，4]-----（7分）
（3）设N（1，0），结合M（x，y）为D上的动点，可得
（x-1）2+y2=|MN|2
运动点M，可得当点M与N在直线OA上的射影重合，即MN⊥OA时
点M、N的距离最短，此时|MN|==
∴|MN|2的最小值为，即（x-1）2+y2的最小值是．（12分）