(1)如图所示,取BC得中点M,连接PM,DP.利用三角形的中位线定理可得PM∥CC1,,又AD=,.可得.
得到四边形AMPD是平行四边形,于是DP∥AM.利用线面平行的判定定理可得DP∥平面ABC.
(2)存在平面ABC上经过C点的直线与DB垂直.取线段AB的中点E,连接CE,由△ABC是正三角形,可得CE⊥AB.
由正三棱柱(底面正三角形,侧棱垂直于底面)ABC-A1B1C1中,可得侧面ABB1A1⊥底面ABC,利用面面垂直的性质定理可得CE⊥侧面ABB1A1,
进而得到CE⊥BD.
(3)由(2)可知:CE⊥侧面ABB1A1,而CC1∥平面ABB1A1,可得CE是四棱锥C1-A1B1BD的高,
利用正△ABC的边长=4,可得高CE=2.利用梯形的面积计算公式可得,再利用四棱锥C1-A1B1BD的体积V=即可.
证明:(1)如图所示,取BC得中点M,连接PM,DP.
∵P是BC1中点,∴PM∥CC1,,
又AD=,.
∴.
∴四边形AMPD是平行四边形,∴DP∥AM.
DP⊄平面ABC,AM⊂平面ABC,
∴DP∥平面ABC.
(2)存在平面ABC上经过C点的直线与DB垂直.证明如下:
取线段AB的中点E,连接CE,∵△ABC是正三角形,∴CE⊥AB.
由正三棱柱(底面正三角形,侧棱垂直于底面)ABC-A1B1C1中,可得侧面ABB1A1⊥底面ABC,
∴CE⊥侧面ABB1A1,
∴CE⊥BD.
(3)由(2)可知:CE⊥侧面ABB1A1,而CC1∥平面ABB1A1,∴CE是四棱锥C1-A1B1BD的高,
∵正△ABC的边长=4,∴高CE=2.
又==12,
∴四棱锥C1-A1B1BD的体积V===.