Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a₁=1，且对于任意n∈N^*，S_n+2ⁿ是a_n+1与a₁的等差中项．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）求证数列{a_n+2ⁿ}是等比数列；
（3）求的前n项和．

Answer

（1）由对于任意n∈N*，Sn+2n是an+1与a1的等差中项，可得，分别令n=1，2即可得出a2，a3；
（2）由，可得，（n≥2）．
两式相减得，可化为，
又，可得数列{an+2n}是以为首项，3公比的等比数列．
（3）由（2）可知：，得．
可得==1-，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
【解析】
（1）∵对于任意n∈N*，Sn+2n是an+1与a1的等差中项，
∴，
当n=1时，可得，又a1=1，解得a2=5，
当n=2时，可得，解得a3=19．
（2）由，可得，（n≥2）．
两式相减得，
∴，
又，
∴数列{an+2n}是以为首项，3公比的等比数列．
（3）由（2）可知：，得．
∴==1-，
∴的前n项和=．