Question

已知x＞0，函数f（x）=-x²+2x+t-1，g（x）=x+．
（1）求过点（1，f（1））与y=f（x）图象相切的直线方程
（2）若g（x）=m有零点，求m的取值范围；
（3）确定实数t的取值范围，使得g（x）-f（x）=0有两个相异实根．

Answer

（1）利用导数的几何意义即可得出切线的斜率f′（1），再利用点斜式即可得到切线的方程；
（2）利用导数得到g（x）的极小值即最小值，g（x）=m有零点⇔m≥g（x）min；
（3）令h（x）=g（x）-f（x），利用导数得出其最小值，g（x）-f（x）=0有两个相异实根⇔h（x）min＜0．
【解析】
（1）∵f′（x）=-2x+2，∴f′（1）=0．
而f（1）=-1+2+t-1=t，
∴过点（1，f（1））与y=f（x）图象相切的直线方程是y-t=0．
（2）由=，x＞0，令g′（x）=0，解得x=1．
解g′（x）＞0，得x＞1，可得g（x）在（1，+∞）上单调递增；解g′（x）＜0，得0＜x＜1，可得g（x）在（0，1）上单调递减．
因此当x=1时，g（x）取得极小值即最小值，g（1）=2，
∵g（x）=m有零点，∴m的取值范围是[2，+∞）；
（3）令h（x）=g（x）-f（x）==（x＞0），
则==，
令h′（x）=0，解得x=1．
解h′（x）＞0，得x＞1，可得h（x）在（1，+∞）上单调递增；解h′（x）＜0，得0＜x＜1，可得h（x）在（0，1）上单调递减．
因此当x=1时，函数h（x）取得最小值，h（1）=2-t，
又x→0+时，h（x）→+∞；当x→+∞时，h（x）→+∞．
因此当h（1）＜0，即t＞2时，h（x）在x＞0时与x轴由两个交点，即g（x）-f（x）=0有两个相异实根．