Question

设函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R且a≠0）同时满足下列条件：①f（1）=1；②当x∈R时，恒有f（x）≥x成立；③当x∈R时，恒有f（x-4）=f（2-x）成立．
（1）求f（x）的表达式；
（2）设g（x）=4f（x）-4x+2，试问g（x）是否存在这样的区间[a，b]（a＜b）同时满足下列条件：①g（x）在[a，b]上单调；②若g（x）的定义域是[a，b]，则其值域也是[a，b]．若存在，求出这样的区间[a，b]，若不存在，试说明理由．

Answer

（1）利用待定系数法结合题中条件，利用二次函数的性质建立关于a，b，c的方程求解即得；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设x存在这样的区间[a，b]（a＜b）同时满足两个条件，再利用函数的单调性，求出a，b的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（1）因当x∈R时，恒有f（x）≥x成立，
即ax2+（b-1）x+c≥0，∴△=（b-1）2-4ac≤0，且a＞0，①
当x∈R时，恒有f（x-4）=f（2-x）成立，则函数f（x）=ax2+bx+c和图象的对称轴是x=-1，
即-=-1，∴b=2a，②
又f（1）=1，∴a+b+c=1，③
由①②③解得：a=，b=，c=，
∴f（x）的表达式为f（x）=x2+x+．
（2）g（x）=4f（x）-4x+2=x2-2x+3，
假设存在这样的区间[a，b]（a＜b）同时满足下列条件：①g（x）在[a，b]上单调；②若g（x）的定义域是[a，b]，则其值域也是[a，b]．
∵g（x）在[a，b]上单调，∴a≥1或b≤1．
当a≥1时，g（x）在[a，b]上单调增，若g（x）的定义域是[a，b]，则值域为[a2-2a+3，b2-2b+3]，
∴，此方程组无解；
当b≤1时，g（x）在[a，b]上单调减，若g（x）的定义域是[a，b]，则值域为[b2-2b+3，a2-2a+3]，
∴，此方程组无解；
综上可知，不存在这样的区间[a，b]（a＜b）同时满足条件．