Question

如图有一张形状为平行四边形的纸片．其中AB=2BC=4，点E为AB中点，∠B=120°，现把△AED沿DE折起到△PED位置．
（Ⅰ）当PE⊥EC时，证明：EC⊥面PDE
（Ⅱ）在把△AED沿DE折起的过程中．是否在PC上存在一个定点F，始终有BF∥面PDE？有则给予证明，没有说明理由．

Answer

（1）平行四边形中，根据题中数据证出△ADE是正三角形，可得DE=2．△CBE中，根据余弦定理算出CE=2，从而△CDE中，利用勾股定理的逆定理证出EC⊥DE．再由PE⊥EC结合线面垂直判定定理，即可证出EC⊥平面PDE；
（2）分别取PC、PD中点F、G，连结BF、FG、CG．利用△PCD的中位线和平行四边形ABCD的性质，证出BE∥FG且BE=FG，得四边形BEGF是平行四边形，所以BF∥EG，根据线面平行判定定理，证出BF∥面PDE．因此，在PC上存在一个定点F，当F为PC的中点时，始终有BF∥面PDE．
【解析】
（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC=2，∠A=180°-∠ABC=60°
∵AB=4，E是AB中点，∴AE=AD=2，得△ADE是正三角形，可得DE=2
∵△CBE中，BE=BC=2，∠B=120°，
∴根据余弦定理，得CE==2
因此，△CDE中，DE2+CE2=16=CD2，可得∠DEC=90°，即EC⊥DE
又∵PE⊥EC，PE、DE是平面PDE内的相交直线，∴EC⊥平面PDE；
（2）分别取PC、PD中点F、G，连结BF、FG、CG
∵△PCD中，F、G分别是PC、PD中点
∴FG∥CD且FG=CD，
又∵平行四边形ABCD中，BE∥CD且BE=CD，
∴BE∥FG且BE=FG，可得四边形BEGF是平行四边形
∴BF∥EG
∵BF⊄平面PDE，EG⊂平面PDE，∴BF∥面PDE
因此，在PC上存在一个定点F，当F为PC的中点时，始终有BF∥面PDE．