(1)建立如图所示的空间直角坐标系,D-xyz,设CM=t(0≤t≤2),通过,求出平面DMN的法向量为,,求出平面A1DN的法向量为,推出(1)利用θ=90°求出M的坐标,然后求出AM的长.
(2)利用cos=以及,求出CM 的长.
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系,D-xyz,设CM=t(0≤t≤2),则各点的坐标为A(1,0,0),A1(1,0,2),
N(,1,0),M(0,1,t);
所以=(,1,0).=(1,0,2),=(0,1,t)
设平面DMN的法向量为=(x1,y1,z1),则,,
即x1+2y1=0,y1+tz1=0,令z1=1,则y1=-t,x1=2t所以=(2t,-t,1),
设平面A1DN的法向量为=(x2,y2,z2),则,,
即x2+2z2=0,x2+2y2=0,令z2=1则y2=1,x2=-2所以=(-2,1,1),
(1)因为θ=90°,所以 解得t=从而M(0,1,),
所以AM=
(2)因为,所以,
cos==
因为=θ或π-θ,所以=解得t=0或t=
根据图形和(1)的结论,可知t=,从而CM的长为.