(Ⅰ)求出f′(x)并令其=0得到方程,把x=3代入求出a即可;
(Ⅱ)首先求出P点的坐标,然后根据导函数求出斜率,即可得出切线方程;
(Ⅲ)由(1)求出函数的单调区间,可以运用导数判断函数的单调性,从而求出函数f(x)在[1,5]上的最大值和最小值.
【解析】
(Ⅰ)f'(x)=3x2-2ax+3,因为f'(3)=0,即27-6a+3=0,所以a=5(4分)
(Ⅱ) 由f(x)=x3-5x2+3x,f'(x)=3x2-10x+3,得切点P(1,-1),切线l的斜率是k=-4,于是l的方程是y-(-1)=-4(x-1)即4x+y-3=0(8分)
(Ⅲ)令f'(x)=0,x∈[1,5],解得x=3(9分)
当x变化时,f'(x)、f(x)的变化情况如下表
x 1 (1,3) 3 (3,5) 5
f'(x) - +
f(x) -1 ↘ 极小值
-9 ↗ 15 (12分)
因此,当x=3时,f(x)在区间[1,5]上取得最小值f(3)=-9;
当x=5时,f(x)在区间[1,5]上取得最大值f(5)=15(14分)