Question

已知函数f（x）=（a，b为实数，且a＞1）在区间[-1，1]上的最大值为1，最小值为-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）-mx在区间[-2，2]上为减函数，求实数m的取值范围．

Answer

（1）先对函数f（x）进行求导判断其单调性后可知f（-1）=-a，f（1）=2-a，再根据函数在区间[-1，1]上的最大值为1，最小值为-2可得答案．
（2）先写出函数g（x）的解析式，然后求导数，令导函数在区间[-2，2]小于等于0恒成立即可得到答案．
【解析】
（1）f′（x）=3x2-3ax，
令f′（x）=0，得x1=0，x2=a，
∵a＞1，
∴f（x）在[-1，0]上为增函数，在[0，1]上为减函数．
∴f（0）=b=1，
∵f（-1）=-a，f（1）=2-a，
∴f（-1）＜f（1），
∴f（-1）=-a=-2，a=．
∴f（x）=x3-2x2+1．
（2）g（x）=x3-2x2-mx+1，g′（x）=3x2-4x-m．
由g（x）在[-2，2]上为减函数，知g′（x）≤0在x∈[-2，2]上恒成立．
∴，即
∴m≥20．
∴实数m的取值范围是m≥20．