Question

已知函数，a＞0，
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a=3，求f（x）在区间[1，e²]上值域．

Answer

（1）求导函数，可得，令得f′（x）=2t2-at+1（t≠0），再进行分类讨论：当△=a2-8≤0，f′（x）≥0恒成立；当△=a2-8＞0，即时，根据2t2-at+1＞0，及2t2-at+1＜0，即可确定函数的单调性；
（2）当a=3时，由（1）知，f（x）在[1，2]上是减函数，在[2，e2]上是增函数，从而可得函数f（x）在区间[1，e2]上的值．
【解析】
（1）求导函数，可得
令得f′（x）=2t2-at+1（t≠0）
当△=a2-8≤0，即时，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上都是增函数；
当△=a2-8＞0，即时，
由2t2-at+1＞0得或
∴x＜0或或
又由2t2-at+1＜0得，∴
综上 当f（x）在（0，+∞）上都是增函数；当f（x）在及上都是增函数，在是减函数．
（2）当a=3时，由（1）知，f（x）在[1，2]上是减函数，在[2，e2]上是增函数．
又
∴函数f（x）在区间[1，e2]上的值域为．