Question

对任意n∈N^*，3⁴ⁿ⁺²+a²ⁿ⁺¹都能被14整除，则最小的自然数a=    ．

Answer

34n+2+a2n+1 即 •142n+1•5+•142n•5+•142n-1•52+…+•14•52n+•14•52n+1+a2n+1，除了最后两项外，其余的
项都能被14整除，故最小的自然数a满足 •14•52n+1+a2n+1=0，由此求得a的值．
【解析】
34n+2+a2n+1=92n+1+a2n+1=（14-5）2n+1+a2n+1
=•142n+1•5+•142n•5+•142n-1•52+…+•14•52n+•14•52n+1+a2n+1，
除了最后两项外，其余的项都能被14整除，故最小的自然数a满足 •14•52n+1+a2n+1=0，
求得a=5，
故答案为 5．