Question

已知函数f（x）=（1+x）²-aln（1+x）²，在x=-2时取得极值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若g（x）=x²+x+b，是否存在实数b，使得方程f（x）=g（x）在区间[0，2]上恰有两个相异实数根，若存在，求出b的范围，若不存在说明理由．

Answer

（Ⅰ）利用函数在x=-2时取得极值，得到f'（-2）=0，然后解出a．
（Ⅱ）利用导数求出函数在的最大值．
（Ⅲ）构造函数F（x）=f（x）-g（x），然后通过F（x）的图象和性质研究在[0，2]上的取值．
【解析】
（Ⅰ），
函数在x=-2时取得极值，所以f'（-2）=-2+2a=0，解得a=1．
所以f（x）=（1+x）2-ln（1+x）2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，由f'（x）=0得x=0或x=-2（舍去）．
当，当x∈[0，e-1]，f'（x）＞0．所以函数的极小值为f（0），最大值为或f（e-1）=e2-2．
因为，所以最大值为f（e-1）=e2-2，所以m＞e2-2．
（Ⅲ）设F（x）=f（x）-g（x）=（1+x）2-ln⁡（1+x）2-x2-x-b=x-ln（1+x）2+1-b，
，由F'（x）＞0得1＜x＜2，由F'（x）＜0得0＜x＜1，所以函数F（x）的增区间为（1，2），减区间为（0，1）．
所以极小值为F（1）=2-b-ln4，又F（0）=1-b，F（2）=3-b-ln9，所以要使方程f（x）=g（x）在区间[0，2]上恰有两个相异实数根，
则有F（1）＜0，且F（0）＞0，F（2）＞0，解得2-2ln2＜b＜3-2ln3．
即b的范围2-2ln2＜b＜3-2ln3．