Question

已知函数f（x）=-x²+2x．
（1）讨论f（x）在区间（-∞，1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）当x∈[0，5]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer

（1）根据二次函数的图象可得函数在区间（-∞，1]上是单调增函数，再用函数单调性的定义进行证明即可；
（2）由函数的图象结合函数的单调性，不难得到f（x）的最大值和最小值．
【解析】
（1）∵二次函数f（x）=-x2+2x的图象是开口向下的抛物线，关于x=1对称，
∴函数在区间（-∞，1]上是单调增函数，证明如下
设x1＜x2＜1，则f（x1）-f（x2）=-x12+2x1-（-x22+2x2）=（x1-x2）（2-x1-x2）
∵x1-x2＜0，2-x1-x2＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0，得f（x1）＜f（x2），
因此f（x）在区间（-∞，1]上是单调增函数；
（2）∵f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，5）上是减函数
∴当x∈[0，5]时，f（x）的最大值为f（1）=1，最小值为f（5）=-15．