Question

已知f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x）（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）-g（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并予以证明；
（3）求使f（x）-g（x）＞0的x的取值范围．

Answer

（1）由题意可得f（x）-g（x）=loga（1+x）-loga（1-x）=，由 求得函数的定义域．
（2）由于f（x）-g（x）=，它的定义域为（-1，1），令h（x）=f（x）-g（x），可得h（-x）=-h（x），从而得到函数h（x）=f（x）-g（x）为奇函数．
（3）由f（x）-g（x）＞0 可得＞0．当 a＞1时，由 求得x的范围；当0＜a＜1时，由0＜，求得x的范围．
【解析】
（1）由于f（x）=loga（1+x），g（x）=loga（1-x），故f（x）-g（x）=loga（1+x）-loga（1-x）=，
由 ，求得-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1）．
（2）由于f（x）-g（x）=loga（1+x）-loga（1-x）=，它的定义域为（-1，1），令h（x）=f（x）-g（x），
可得h（-x）==-=-h（x），故函数h（x）=f（x）-g（x）为奇函数．
（3）由f（x）-g（x）＞0 可得＞0．
当 a＞1时，有，即 ＜0，解得 0＜x＜1．
当0＜a＜1时，有 0＜，即，即 ，解得-1＜x＜0．
综上可得，当 a＞1时，0＜x＜1； 当0＜a＜1时，-1＜x＜0．