Question

设函数f（x）=e^x-e^-x．
（1）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；
（2）若对所有x≥0都有 f（x²-1）＜e-e^-1，求x的取值范围．

Answer

（1）f′（x）=ex+e-x．由基本不等式易证．
（2）由（1）f′（x）≥2＞0，所以f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，不等式转化为x2-1＜1求解即可．
【解析】
（1）f′（x）=ex+e-x．由基本不等式得ex+e-x≥2=2，故f′（x）≥2，当且仅当x=0时，等号成立．
（2）由（1）f′（x）≥2＞0，所以f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，f（x2-1）＜e-e-1，即为 f（x2-1）＜f（1），
所以x2-1＜1，又x≥0，解得x的取值范围为[0，）