Question

已知函数y=f（x）=．
（1）求函数y=f（x）的图象在x=处的切线方程；
（2）求y=f（x）的最大值；
（3）设实数a＞0，求函数F（x）=af（x）在[a，2a]上的最小值．

Answer

（1）利用导数的几何意义：导数在切点处的导数值是曲线的切线的斜率，求出切线方程．
（2）令导函数为0求出根，判断根左右两边的导函数符号，判断出函数的单调性，求出函数的最值．
（3）利用（2）的结论，判断出函数的最大值在e处取得；最小值在端点处取得；通过对a的分类讨论比较出两个端点值的大小，求出最小值．
【解析】
（1）∵f（x）定义域为（0，+∞），∴f′（x）=
∵f（）=-e，又∵k=f′（）=2e2，
∴函数y=f（x）的在x=处的切线方程为：
y+e=2e2（x-），即y=2e2x-3e．
（2）令f′（x）=0得x=e．
∵当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上为增函数，
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，则在（e，+∞）上为减函数，
∴fmax（x）=f（e）=．
（3）∵a＞0，由（2）知：
F（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．
∴F（x）在[a，2a]上的最小值f（x）min=min{F（a），F（2a）}，
∵F（a）-F（2a）=ln，
∴当0＜a≤2时，F（a）-F（2a）≤0，fmin（x）=F（a）=lna．
当a＞2时，F（a）-F（2a）＞0，f（x）min=f（2a）=ln2a．