Question

若x_i＞0（i=1，2，3，…，n），观察下列不等式：（x₁+x₂）（）≥4，（x₁+x₂+x₃）（）≥9，…，

请你猜测（x₁+x₂+…+x_n）（）满足的不等式，并用数学归纳法加以证明．

Answer

根据不等式：（x1+x2）（）≥4，（x1+x2+x3）（）≥9，…，可以猜测（x1+x2+…+xn）（）≥n2（n≥2），再用数学归纳法证明．
【解析】
满足的不等式为（x1+x2+…+xn）（）≥n2（n≥2），
证明如下：
（1）当n=2时，猜想成立；
（2）假设当n=k时，猜想成立，即（x1+x2+…+xn）（）≥k2，
那么n=k+1时，（x1+x2+…+xk+1）（）≥k2+2k+1=（k+1）2
则当n=k+1时猜想也成立，根据（1）（2）可得猜想对任意的n∈N，n≥2都成立．