Question

已知f（x）=kx+b，且f（1）=-1，f（2）=-3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（a-1）的值；
（3）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．

Answer

（1）由题意，可得f（1）=k+b=-1，f（2）=2k+b=-3，联立可得关于k、b的方程组，解可得k、b的值，即可得答案；
（2）由（1）的解析式，将x=a-1代入解析式中可得答案；
（3）分析易得，f（x）的定义域为R，设任意的x1、x2∈R，且x1＜x2，用作差法判断可得答案．
【解析】
（1）根据题意，有f（1）=k+b=-1，f（2）=2k+b=-3．
则，解可得，
则f（x）=-2x+1；
（2）由（1）可得，f（1）=-2x+1，
则f（a-1）=-2（a-1）+1=-2a+3；
（3）由一次函数的性质，可得f（x）为减函数，
证明如下：f（x）=-2x+1，f（x）的定义域为R，
设任意的x1、x2∈R，且x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=（-2x1+1）-（-2x2+1）=2（x2-x1），
又由x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=2（x2-x1）＞0，
则f（x）为减函数．