Question

已知关于x的方程（1-a）x²+（a+2）x-4=0，a∈R，求：
（Ⅰ）方程有两个正根的充要条件
（Ⅱ）方程至少有一个正根的充要条件．

Answer

（1）方程有两个正根，首先要保证方程有两个根，即该方程为二次方程（二次项系数不为零），且△≥0，再由根与系数的关系，可得两根之和、两根之积均为正，构造不等式组，解不等式组即可得到答案．（II）方程至少有一个正根，包含这样几种情况：①方程有两个正根②方程有一个非正根和一正根③方程为一次方程，只有一正根．分类讨论后综合即可得到答案．
【解析】
首先方程有二实根的充要条件是：
解之得：a≥10或a≤2且a≠1
设方程的二实根为x1，x2，则
（Ⅰ）x1，x2均为正根
解之得：1＜a≤2或a≥10
（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，当a≥10或1＜a≤2时，方程有两个正根
②方程有一正根，一负根解得：a＜1
③当
综合①②③得，方程至少有一个正根的充要条件是q≤2或q≥10