Question

设全集是实数集R，A={x|2x²-7x+3≥0}，B={x|x²-a＜0}．
（1）当a=4时，求A∩B和A∪B；
（2）若（∁_RA）∩B=B，求实数a的取值范围．

Answer

（1）化简A={x|x≥3，或x≤}，当a=4时，求得B={x|-2＜x＜2}，再根据两个集合的交集、并集的定义求得 A∩B 和A∪B．
（2）当a≤0时，B=∅，满足（∁RA）∩B=B．当a＞0时，B={x|-＜x＜，由（∁RA）∩B=B，可得，解得 a∈∅．再把这2个a的范围取并集，即得所求
【解析】
（1）∵全集是实数集R，A={x|2x2-7x+3≥0}={x|（2x-1）（x-3）≥0}={x|x≥3，或x≤}，
当a=4时，B={x|x2-4＜0}={x|-2＜x＜2}，
∴A∩B={x|-2＜x≤ }，A∪B={x|x＜2，或 x≥3}．
（2）（∁RA）∩B=B，即 B⊆（∁RA．由（1）可得∁RA={ x|＜x＜3}，当a≤0时，B=∅，满足（∁RA）∩B=B．
当a＞0时，B={x|x2-a＜0}={x|-＜x＜ }，由（∁RA）∩B=B，可得，解得 a∈∅．
综上可得，a≤0，即实数a的取值范围为（-∞，0]．