(Ⅰ)由,其定义域为(0,+∞),知,,由x=1是函数h(x)的极值点,知3-a2=0,由此能求出a.
(Ⅱ)对任意的x1∈[1,e],都存在x2∈[1,e]使得f(x1)<g(x2)成立等价于f(x)max<g(x)max.当x∈[1,e]时,,故函数g(x)=x+lnx在[1,e]上是增函数,g(x)max=g(e)=e+1.由此能求出a的取值范围.
【解析】
(Ⅰ)∵,其定义域为(0,+∞),…(1分)
∴,…(2分)
∵x=1是函数h(x)的极值点,
∴h'(1)=0,即3-a2=0
∵a>0,∴. …(4分)
经检验当时,x=1是函数h(x)的极值点,
∴…(5分)
(Ⅱ)对任意的x1∈[1,e],都存在x2∈[1,e]使得f(x1)<g(x2)
成立等价于f(x)max<g(x)max…(6分)
当x∈[1,e]时,,
∴函数g(x)=x+lnx在[1,e]上是增函数,
∴g(x)max=g(e)=e+1…(7分)
,x∈[1,e],a>0
①当0<a≤1时,x∈[1,e],,
∴函数在[1,e]上是增函数,
∴<e+1
即f(x)max<g(x)max恒成立,满足题意; …(9分)
②当1<a<e时,若1≤x<a,则,
若a<x≤e,则
∴函数在[1,a)上是减函数,在(a,e]上是增函数,
而f(1)=1+a2,
a)f(1)<f(e)即时,
,<e+1
即f(x)max<g(x)max恒成立;
b)f(1)≥f(e)即时,
f(x)max=f(1)=1+a2
此时,f(x)max≥g(x)max,不合题意; …(12分)
③当a≥e时,x∈[1,e],,
∴函数在[1,e]上是减函数,
∴f(x)max=f(1)=1+a2
此时,f(x)max>g(x)max,不合题意; …(13分)
综上知,a的取值范围为. …(14分)