Question

已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，有下列三个条件 
①m∥γ，n⊂β；
②m∥γ，n∥β；    
③m⊂γ，n∥β，
要使命题“若α∩β=m，n⊂γ，且    ，则m∥n”为真命题，则可以在横线处填入的条件是    （把你认为正确条件的序号填上）

Answer

A．可以在横线处填入的条件是 ③．如图1所示，即“若α∩β=m，n⊂γ，且m⊂γ，n∥β，则m∥n”为真命题．利用同一平面内两条直线的位置关系可得m∥n或m∩n=P，由反证法排除m∩n=P即可；
B．可以在横线处填入的条件是①，即“若α∩β=m，n⊂γ，且m∥γ，n⊂β，则m∥n”为真命题．如图2所示，由α∩β=m，可得m⊂β，可得β∩γ=n，已知m∥γ，利用线面平行的性质定理可得m∥n．
C．在横线处填入的条件不能是②．如图3所示，即“若α∩β=m，n⊂γ，且m∥γ，n∥β；则m∥n”为假命题．举反例：假设α∩γ=l，由m∥γ，可得m∥l．若n∩l=P，则m与n必不平行，否则与n∩lP相矛盾．
【解析】
A．可以在横线处填入的条件是 ③．如图1所示，
即若α∩β=m，n⊂γ，且m⊂γ，n∥β，则m∥n”为真命题．
证明如下：∵α∩β=m，n⊂γ，m⊂γ，∴m∥n或m∩n=P，
假设m∩n=P，则P∈n，P∈m，又α∩β=m，∴P∈β，
这与n∥β相矛盾，因此m∩n=P不成立，故m∥n．
B．可以在横线处填入的条件是①，
即若α∩β=m，n⊂γ，且m∥γ，n⊂β，则m∥n”为真命题．
证明如下：如图2所示，∵α∩β=m，∴m⊂β，
∵n⊂γ，n⊂β，∴β∩γ=n，
又m∥γ，∴m∥n．
C．在横线处填入的条件不能是②．
如图3所示，即“若α∩β=m，n⊂γ，且m∥γ，n∥β；则m∥n”为假命题．
证明：假设α∩γ=l，∵m∥γ，∴m∥l．
若n∩l=P，则m与n必不平行，否则与n∩lP相矛盾．
综上可知：可以填的条件是③或①．