已知ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA...

已知ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△OED，ODF都是正三角形．
（Ⅰ）证明：平面ABC∥平面OEF；
（Ⅱ）求棱锥F-ABC的体积；
（III）求异面直线AB与FD成角的余弦值．

（Ⅰ）利用三角形中位线的性质证明故BC∥EF，AC∥OF，即可证明平面ABC∥平面OEF；（Ⅱ）利用等体积VF-ABC=VC-ABE=VC-ABO，即可求棱锥F-ABC的体积；（III）证明∠COE（或其补角）就是异面直线AB与FD成角，取AO中点M，连接CM，ME，则CM⊥平面ABED，在△COE中，利用余弦定理，即可求异面直线AB与FD成角的余弦值．（I）证明：设G是线段DA与线段EB延长线的交点，由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以OB∥DE，OB=DE 同理，设G′是线段DA与线段FC延长线的交点，有OG′=OD=2，又由于G与G′都在线段DA的延长线上，所以G与G′重合，在△GED和△GFD中，由OB∥DE，OB=DE和OC∥DF，OC=DF，可知B，C分别是GE，GF的中点，所以BC是△GFE的中位线，故BC∥EF 同理AC∥OF，∴平面ABC∥平面OEF；（Ⅱ）【解析】过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q．由平面ABED⊥平面ACFD，FQ就是四棱锥F-OBED的高，且FQ=，由（I）知，VF-ABC=VC-ABE=VC-ABO===；（III）【解析】由（I）知，AB∥OE，CO∥DF ∴∠COE（或其补角）就是异面直线AB与FD成角，取AO中点M，连接CM，ME，则CM⊥平面ABED， ∵ME== ∴CE=== 在△COE中，cos∠COE==- ∴异面直线AB与FD成角的余弦值是．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等