Question

如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC．
（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；
（Ⅱ）PQ⊥平面QBC，求二面角Q-PB-A的余弦值．

Answer

（Ⅰ）利用线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理即可证明；
（Ⅱ）方法一：利用三角形的中位线定理及二面角的平面角的定义即可求出．
方法二：通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量所成的夹角来求两平面的二面角的平面角．
【解析】
（I）证明：过点Q作QD⊥BC于点D，
∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC，
又∵PA⊥平面ABC，
∴QD∥PA，又∵QD⊂平面QBC，PA⊄平面QBC，
∴PA∥平面QBC．
（Ⅱ）方法一：∵PQ⊥平面QBC，
∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，
∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．
∴点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC，
∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，
∴四边形PADQ是矩形．
设PA=2a，
∴，PB=2a，∴．
过Q作QR⊥PB于点R，
∴=，
==，
取PB中点M，连接AM，取PA的中点N，连接RN，
∵PR=，，∴MA∥RN．
∵PA=AB，∴AM⊥PB，∴RN⊥PB．
∴∠QRN为二面角Q-PB-A的平面角．
连接QN，则QN===．又，
∴cos∠QRN===．
即二面角Q-PB-A的余弦值为．
（Ⅱ）方法二：∵PQ⊥平面QBC，
∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，
∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．
∴点D是BC的中点，连AD，则AD⊥BC．
∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，
∴四边形PADQ是矩形．
分别以AC、AB、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系O-xyz．
不妨设PA=2，则Q（1，1，2），B（0，2，0），P（0，0，2），
设平面QPB的法向量为．
∵=（1，1，0），=（0，2，-2）．
∴令x=1，则y=z=-1．
又∵平面PAB的法向量为．
设二面角Q-PB-A为θ，则|cosθ|===
又∵二面角Q-PB-A是钝角
∴．