Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=2，BC₁=，CC₁=，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，E为棱AB的中点，F为CC₁上的动点．
（Ⅰ）在线段CC₁上是否存在一点F，使得EF∥平面A₁BC₁？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由．
（Ⅱ）在线段CC₁上是否存在一点F，使得EF⊥BB₁？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由．
（ III）当F为CC₁的中点时，若AC≤CC₁，且EF与平面ACC₁A₁所成的角的正弦值为，求二面角C-AA₁-B的余弦值．

Answer

（I）存在，中点，利用线面平行的判定定理可得结论；
（Ⅱ）存在，当F在靠端点C1一侧的四等分点时．
（III）建立空间直角坐标系，确定平面ACC1A1、平面AA1B的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得到结论．
【解析】
（I）存在，中点．
取A1B的中点D，连接ED，DC1，则ED∥AA1，ED=AA1，
∵F为CC1上的动点，∴ED∥FC1，ED=FC1，
∴四边形DEFC1是平行四边形
∴EF∥DC1，
∴EF⊄平面A1BC1，DC1⊂平面A1BC1，
∴EF∥平面A1BC1；
（Ⅱ）存在，当F在靠端点C1一侧的四等分点时．
（III）建立如图所示的空间直角坐标系，设平面ACC1A1的一个法向量为
又
则，，令z1=1，则
又
∴=…（6分）
解得b=1，或，
∵AC≤CC1∴b=1
∴
同理可求得平面AA1B的一个法向量
∴=
又二面角C-AA1-B为锐二面角，故余弦值为．