Question

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，令a_n=lgx_n，则a₁+a₂+…+a₉₉的值为    ．

Answer

由曲线y=xn+1（n∈N*），知y′=（n+1）xn，故f′（1）=n+1，所以曲线y=xn+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y-1=（n+1）（x-1），该切线与x轴的交点的横坐标为xn=，故an=lgn-lg（n+1），由此能求出a1+a2+…+a99．
【解析】
∵曲线y=xn+1（n∈N*），
∴y′=（n+1）xn，∴f′（1）=n+1，
∴曲线y=xn+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y-1=（n+1）（x-1），
该切线与x轴的交点的横坐标为xn=，
∵an=lgxn，
∴an=lgn-lg（n+1），
∴a1+a2+…+a99
=（lg1-lg2）+（lg2-lg3）+（lg3-lg4）+（lg4-lg5）+（lg5-lg6）+…+（lg99-lg100）
=lg1-lg100=-2．
故答案为：-2．