Question

△ABC中，己知∠A＞∠B＞∠C，且∠A=2∠C，b=4，a+c=8，求a，c的长．

Answer

根据正弦定理得=，结合已经条件算出sin2C+sinC=2sin3C，利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简整理，得8cos2C-2cosC-3=0，解出锐角C的余弦值为．最后利用余弦定理建立关系式，结合a+c=8即可解出边a、c的长．
【解析】
根据正弦定理==，得=
∵b=4，a+c=8，∠A=2∠C，
∴=，可得sin2C+sinC=2sin（π-3C）=2sin3C
∵sin2C=2sinCcosC，sin3C=sin（2C+C）=sin2CcosC+cos2CsinC=2sinCcos2C+sinC（2cos2C-1）
∴2sinCcosC+sinC=2[2sinCcos2C+sinC（2cos2C-1）]
结合sinC＞0，化简整理得：8cos2C-2cosC-3=0，
解之得cosC=或cosC=-
∵∠A＞∠B＞∠C，得C为锐角，
∴cosC=-不符合题意，舍去
根据余弦定理，得cosC==，
∴=，解之得a=，c=8-a=
综上，a、c的长分别为、．