Question

设曲线（其中a＞0）在点（x₁，f（x₁））及（x₂，f（x₂））处的切线都过点（0，2）．证明：当x₁≠x₂时，f′（x₁）≠f′（x₂）

Answer

根据，f′（x）=x2-ax，由于点（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f'（t）（x-t），而点（0，2）在切线上，所以2-f（t）=f'（t）（-t），由此利用反证法能够证明f'（x1）≠f'（x2）．
【解析】
f（x）=，f'（x）=x2-ax．
由于点（t，f（t））处的切线方程为
y-f（t）=f'（t）（x-t），而点（0，2）在切线上，所以2-f（t）=f'（t）（-t），
化简得，
由于曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））及（x2，f（x2））处的切线都过点（0，2），
即x1，x2满足方程
下面用反证法证明结论：
假设f'（x1）=f'（x2），
则下列等式成立：
由（3）得x1+x2=a
由（1）-（2）得
又
∴，
此时，与x1≠x2矛盾，
所以f（x1）≠f（x2）．