Question

设，函数f（x）的定义域为[0，1]且f（0）=0，f（1）=1当x≥y时有f（）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）．
（1）求f（），f（）；
（2）求α的值；
（3）求函数g（x）=sin（α-2x）的单调区间．

Answer

（1）根据f（）=f（）=f（1）sinα+（1-sinα）f（0），运算求得结果，再根据f（）=f（）=f（）sinα+（1-sinα）f（0），运算求得结果．
（2）求出f（）=f（）=f（1）sinα+（1-sinα）f（）=2sinα-sin2α．同理求得f（）=3sin2α-2sin3α，再由sinα=3sin2α-2sin3α，解得sin α的值，从而求得α的值．
（3）化简函数g（x）=sin（α-2x）=-sin（2x-），令 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到g（x）的减区间．令 2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈z，
求得x的范围，即可得到g（x）的增区间．
【解析】
（1）f（）=f（）=f（1）sinα+（1-sinα）f（0）=sin α．
f（）=f（）=f（）sinα+（1-sinα）f（0）=sin2α．
（2）∵f（）=f（）=f（1）sinα+（1-sinα）f（）=sinα+（1-sinα）sinα=2sinα-sin2α．
f（）=f（）=f（）sinα+（1-sinα）f（）=（2sinα-sin2α ）sinα+（1-sinα）sin2α=3sin2α-2sin3α，
∴sinα=3sin2α-2sin3α，解得sin α=0，或 sin α=1，或 sin α=．
∵，∴sin α=，α=．
（3）函数g（x）=sin（α-2x）=sin（-2x）=-sin（2x-），令 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，
故函数g（x）的减区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．
 令 2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈z，可得 kπ+≤x≤kπ+，故函数g（x）的增区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．