Question

四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，，∠BAD=120°，E为PC中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥面BED；
（Ⅱ）求二面角E-AB-C的平面角的余弦值．

Answer

（I）因为菱形的对角线互相垂直，所以AC⊥BD，再由△PAC的中位线，得到EO∥PA，结合PA⊥面ABCD，所以EO⊥面ABCD，从而AC⊥EO．最后根据直线与平面垂直的判定定理，得到AC⊥面BED；
（II）以A为原点，AD、AP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得到A、B、C、E各点的坐标，从而得到向量、、的坐标，然后利用垂直向量数量积为零的方法，分别求出平面ABE和平面ABC的一个法向量，结合空间向量的夹角公式计算出它们的夹角的余弦值．最后根据题意，二面角E-AB-C是锐二面角，得到二面角E-AB-C平面角的余弦值为余两个法向量夹角余弦的绝对值．
【解析】
（Ⅰ）设O为底面ABCD的中心，连接EO，
∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD
∵△PAC中，E、O分别是PC、PA的中点
∴EO∥PA
又∵PA⊥面ABCD，
∴EO⊥面ABCD
∵AC⊂面ABCD，∴AC⊥EO
又∵BD、EO是平面BED内的两条相交直线
∴AC⊥面BED（6分）
（Ⅱ）以A为原点，AD、AP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得
∴（8分）
设是平面ABE一个法向量
由，解得，
所以取x1=1，，，可得，
因为PA⊥平面ABC，所以向量即为平面ABC的一个法向量，设=（10分）
∴
根据题意可知：二面角E-AB-C是锐二面角，其余弦值等于|cos＜n1，n2＞|=
∴二面角E-AB-C的平面角的余弦值为．（12分）