Question

已知函数f（x）=4^x-2^x+1+3．
（1）当f（x）=11时，求x的值；
（2）当x∈[-2，1]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer

（1）f（x）=11，即4x-2x+1+3=11，以2x为单位，解关于x的方程，通过因式分解得（2x-4）（2x+2）=0，再讨论2x为的正数的性质，可得2x=4，故x=2成立；
（2）以2x为单位，将原函数化简为关于它的二次函数，根据二次函数的图象与性质，结合x∈[-2，1]，找到函数取最大值和最小值对应的x，从而找出函数f（x）的最大值和最小值．
【解析】
（1）当f（x）=11，即4x-2x+1+3=11时，（2x）2-2•2x-8=0
∴（2x-4）（2x+2）=0
∵2x＞02x+2＞2，
∴2x-4=0，2x=4，故x=2----------------（4分）
（2）f（x）=（2x）2-2•2x+3    （-2≤x≤1）
令∴f（x）=（2x-1）2+2
当2x=1，即x=0时，函数的最小值fmin（x）=2--------------（10分）
当2x=2，即x=1时，函数的最大值fmax（x）=3--------------（12分）