Question

已知函数f（x）=x-alnx+在x=1处取得极值．
（I）求a与b满足的关系式；
（II）若a∈R，求函数f（x）的单调区间．

Answer

（Ⅰ）利用f′（1）=0即可求得a与b的关系．
（Ⅱ）先求导得f′（x）=，然后对参数a分a＞2，a=2，a＜2讨论即可．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=1--，
∵函数f（x）=x-alnx+在x=1处取得极值，∴f′（1）=0，∴1-a-b=0，即b=1-a．
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由（Ⅰ）可得f′（x）===．
令f′（x）=0，则x1=1，x2=a-1．
①当a＞2时，x2＞x1，当x∈（0，1）∪（a-1，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（1，a-1）时，f′（x）＜0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（a-1，+∞）；单调递减区间为（1，a-1）．
②当a=2时，f′（x）≥0，且只有x=1时为0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增．
③当a＜2时，x2＜x1，当x∈（0，1-a）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（1-a，1）时，f′（x）＜0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，1-a），（1，+∞）；单调递减区间为（a-1，1）．