Question

f（x）=ax²+ax-1在R上满足f（x）＜0，则a的取值范围是    ．

Answer

当a=0时，得到f（x）的值为-1小于0，f（x）小于0成立；当a不为0时，f（x）为二次函数，要使f（x）在R上满足f（x）＜0恒成立，则其图象必须为开口向下，且与x轴没有交点的抛物线，即可列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围，综上，得到满足题意的a的范围．
【解析】
当a=0时，f（x）=-1＜0成立；
当a≠0时，f（x）为二次函数，
∵在R上满足f（x）＜0，
∴二次函数的图象开口向下，且与x轴没有交点，
即a＜0，△=a2+4a＜0，
解得：-4＜a＜0，
综上，a的取值范围是-4＜a≤0．
故答案为：-4＜a≤0