在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线...

在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M、F、O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为 manfen5.com 满分网

．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过F作斜率为 manfen5.com 满分网

的直线与抛物线交于A，B两点，求AB的长度．

（Ⅰ）设M（x，）（x＞0），Q（a，b），由题意可知b=，根据点Q到准线的距离为可解p；（Ⅱ）由点斜式可得直线方程，代入抛物线方程消掉x可得y的二次方程，利用韦达定理及抛物线定义可得即可求得|AB|．【解析】（Ⅰ）F抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F（0，），设M（x，）（x＞0），Q（a，b），由题意可知b=，则点Q到抛物线C的准线的距离为b+===，解得p=1，于是抛物线C的方程为x2=2y．（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为x2=2y，焦点F（0，），则直线方程为：y=，代入抛物线方程整理得，4y2-6y+1=0，则，如右图所示：|AB|=|AF|+|BF|=（）+（）=（yA+yB）+p=+1=．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等