Question

如图所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-A的大小；
（Ⅲ）求点A到平面A₁BD的距离．

Answer

（Ⅰ）设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，由此能够证明B1C∥平面A1BD．
（Ⅱ）法一：由正三棱柱ABC-A1B1C1中D是AC的中点，知BD⊥AC，由平面AA1C1C⊥平面ABC，知BD⊥平面AA1C1C，故BD⊥A1D，∠A1DA为二面角A1-BD-A的平面角，由此能求出二面角A1-BD-A的大小．
（Ⅱ）法二：建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A1-BD-A的大小．
（Ⅲ）法一：由（Ⅱ）知BD⊥AC、BD⊥A1D，设点A到平面A1BD的距离为d，利用等积法能求出点A到平面A1BD的距离．
（Ⅲ）法二：由（Ⅱ）得=（1，0，0），n=（，0，1），利用向量法能求出点A到平面A1BD的距离．
【解析】
（Ⅰ）证明：设AB1与A1B相交于点P，连接PD，
则P为AB1中点，
∵D为AC中点，
∴PD∥B1C．
又∵PD⊂平面A1BD，
∴B1C∥平面A1BD．…（4分）
（Ⅱ）解法一：由正三棱柱ABC-A1B1C1中D是AC的中点，
知BD⊥AC，
又∵平面AA1C1C⊥平面ABC，
∴BD⊥平面AA1C1C，∴BD⊥A1D，
故∠A1DA为二面角A1-BD-A的平面角，
又AD⊥A1A，，AD=1，
∴∠A1DA=60°，即二面角A1-BD-A的大小为60°．…（8分）
（Ⅱ）解法二：如图建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），A1（1，0，），
B（0，，0），B1（0，，），
∴=（-1，，-），=（-1，0，-），
设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），
则，

则有，令z=1，得=（，0，1）
由题意，知=（0，0，）是平面ABD的一个法向量．
设与所成角为θ，
则，∴，
∴二面角A1-BD-A的大小是…（8分）
（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知BD⊥AC、BD⊥A1D，
设点A到平面A1BD的距离为d，
∴，
故
=
解得：，
即点A到平面A1BD的距离为．…（12分）
（Ⅲ）解法二：由（Ⅱ）已知，
得=（1，0，0），=（，0，1）
则
即点A到平面A1BD的距离为．…（12分）