Question

已知函数f（x）=lnx．
（1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值；
（2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x²+1恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若x₁＞x₂＞0，求证：＞．

Answer

（1）先求出g（x）=ln（x-1）-x（x＞-1），然后求导确定单调区间，极值，最值即可求．
（2）本小题转化为在x＞0上恒成立，进一步转化为，然后构造函数h（x）=，利用导数研究出h（x）的最大值，再利用基础不等式可知，从而可知a的取值范围．
（3）本小题等价于．令t=，设u（t）=lnt-，t＞1，由导数性质求出u（t）＞u（1）=0，由此能够证明＞．
【解析】
（1）∵f（x）=lnx，
∴g（x）=f（x+1）-x=ln（x+1）-x，x＞-1，
∴．
当x∈（-1，0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（-1，0）上单调递增；
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）在x=0处取得最大值g（0）=0．
（2）∵对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，
∴在x＞0上恒成立，
进一步转化为，
设h（x）=，则，
当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，
∴h（x）．
要使f（x）≤ax恒成立，必须a．
另一方面，当x＞0时，x+，
要使ax≤x2+1恒成立，必须a≤2，
∴满足条件的a的取值范围是[，2]．
（3）当x1＞x2＞0时，＞等价于．
令t=，设u（t）=lnt-，t＞1
则＞0，
∴u（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴u（t）＞u（1）=0，
∴＞．