如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分别是AB的两个三等分点，...

如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分别是AB的两个三等分点，AC，DF相交于点G，建立适当的平面直角坐标系：
（1）若动点M到D点距离等于它到C点距离的两倍，求动点M的轨迹围成区域的面积；
（2）证明：E G⊥D F．

（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出动点M的轨迹方程，即可求出围成区域的面积；（2）求出直线AC，DF的方程，可得G的坐标，计算kEG•kDF=-1，即可得到结论．（1）【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），C（3，1），D（0，1），E（1，0），F（2，0）．…（1分）设M（x，y），由题意知|MD|=2|MC|…（2分） ∴…（3分）两边平方化简得：即（x-4）2+（y-1）2=4…（5分）即动点M的轨迹为圆心（4，1），半径为2的圆， ∴动点M的轨迹围成区域的面积为4π…（6分）（2）证明：由A（0，0）．C（3，1）知直线AC的方程为：x-3y=0，…（7分）由D（0，1）．F（2，0）知直线DF的方程为：x+2y-2=0，…（8分）由得，故点G点的坐标为．…（10分）又点E的坐标为（1，0），故kEG=2，kDF=- …（12分）所以kEG•kDF=-1，即证得：EG⊥DF …（13分）

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等