Question

已知函数f（x）=xe^-x（x∈R）．
（1）求函数f（x）在x=1的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值．

Answer

（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（1），由于切点为（1，），即可得所求切线的方程；
（2）求导函数，由导数的正负，可得函数的单调区间，从而可求函数的极值．
【解析】
（1）∵f（x）=xe-x，∴f′（x）=x（e-x）′+x′e-x=e-x（-x+1）
∴f′（1）=0，f（1）=
即函数f（x）图象在x=1处的切线斜率为0
∴图象在x=1处的切线方程为y=
（2）求导函数，f′（x）=（1-x）e-x，令f′（x）=0，解得x=1
由f′（x）＞0，可得x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1
∴函数在（-∞，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
∴函数在x=1时取得极大值f（1）=．