Question

如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，设小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？最大值为多少？

Answer

设小正方形的边长为xcm，则盒子容积为：y=（8-2x）•（5-2x）•x为三次函数，用求导法，可得x=1时，函数y取得最大值，此时盒子容积最大．
【解析】
设小正方形的边长为xcm，则x∈（0，）；
盒子容积为：y=（8-2x）•（5-2x）•x=4x3-26x2+40x，
对y求导，得y′=12x2-52x+40，令y′=0，得12x2-52x+40=0，解得：x=1，x=（舍去），
所以，当0＜x＜1时，y′＞0，函数y单调递增；当1＜x＜时，y′＜0，函数y单调递减；
所以，当x=1时，函数y取得最大值18；
所以，小正方形的边长为1cm，盒子容积最大，最大值为18cm3．