Question

已知函数f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在x=0，x=4处取得极值．
（1）求常数k的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer

（1）因为函数两个极值点已知，令f′（x）=3kx2+6（k-1）x=0，把0和4代入求出k即可．
（2）利用函数的导数确定函数的单调区间，f′（x）=3kx2+6（k-1）x=x2-4x=x（x-4）大于零和小于零分别求出递增和递减区间即可；把函数导数为0点代到f（x）中，判断极大极小值即可．
【解析】
（1）f'（x）=3kx2+6（k-1）x，由于在x=0，x=4处取得极值，
∴f'（0）=0，f'（4）=0，可求得．                         …（2分）
（2）由（1）可知，
f'（x）=x2-4x=x（x-4），
f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x （-∞，0） （0，4） 4 （4，+∞）
f'（x） + - +
f（x） 增 极大值 减 极小值 增

∴当x＜0或x＞4，f（x）为增函数，0≤x≤4，f（x）为减函数；        …（2分）
∴极大值为，极小值为．…（2分）