Question

对于二项式（1-x）¹⁰，求：
（1）求展开式中的二项式系数和；
（2）展开式的中间项是第几项？写出这一项；
（3）求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．

Answer

（1）二项式的展开式中的二项式系数和为+++…+=210，运算求得结果．
（2）此展开式共有11项，它的中间项是第6项，再由通项公式求得它的值．
（3）设二项式（1-x）10 =a+a1x+a2x2+…+a10x10，令x=1，可得 a+a1+a2+…+a10=0，令x=0，可得a=1，从而求得 a1+a2+…+a10 的值，即为所求．
【解析】
（1）对于二项式（1-x）10，展开式中的二项式系数和为+++…+=210=1024．
（2）此展开式共有11项，它的中间项是第6项，为 T6=•（-x）5=-252x5．
（3）设二项式（1-x）10 =a+a1x+a2x2+…+a10x10，
令x=1，可得 a+a1+a2+…+a10=0，
令x=0，可得a=1，∴a1+a2+…+a10=-1，即 展开式中除常数项外，其余各项的系数和为-1．