Question

△ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC，设EA=AB=2a，DC=a，且F为BE的中点，如图所示．
（1）求证：DF∥平面ABC；
（2）求证：AF⊥BD；
（3）求平面BDE与平面ABC所成的较小二面角的大小．

Answer

（1）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用线面、面面垂直的判定和性质定理即可证明；
（3）延长ED交AC延长线于G′，连BG′，只要证明BG′⊥平面ABE即可得到∠ABE为所求的平面BDE与平面ABC所成二面角，在等腰直角三角形ABE中即可得到．
【解析】
（1）证明：如图所示，取AB中点G，连CG、FG．
∵EF=FB，AG=GB，
∴FGEA．
又DCEA，∴FGDC．
∴四边形CDFG为平行四边形，∴DF∥CG．
∵DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC，
∴DF∥平面ABC．
（2）证明：∵EA⊥平面ABC，
∴AE⊥CG．
又△ABC是正三角形，G是AB的中点，
∴CG⊥AB．
∴CG⊥平面AEB．
又∵DE∥CG，
∴DF⊥平面AEB．
∴平面AEB⊥平面BDE．
∵AE=AB，EF=FB，
∴AF⊥BE．
∴AF⊥平面BED，
∴AF⊥BD．
（3）【解析】
延长ED交AC延长线于G′，连BG′．
由CD=AE，CD∥AE知，D为EG′的中点，
∴FD∥BG′．
又CG⊥平面ABE，FD∥CG．
∴BG′⊥平面ABE．
∴∠EBA为所求二面角的平面角．
在等腰直角三角形AEB中，可得∠ABE=45°．
∴平面BDE与平面ABC所成的较小二面角是45°．