Question

已知双曲线C的离心率为，且过点（4，-）
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线C上，求证：MF₁⊥MF₂；
（3）求△F₁MF₂的面积．

Answer

（1）根据双曲线C的离心率为，得出双曲线为等轴双曲线，从而设双曲线C的方程为nx2-ny2=1利用双曲线C过点（4，-）即可求出n的值，最后写出双曲线的方程即可．
（2）先根据点M（3，m）在双曲线C上求出m值，由双曲线的对称性知，我们只需证明点M（3，） 满足MF1⊥MF2即可，利用向量的数量积等于0即可证得MF1⊥MF2；
（3）利用（2）中的数据结合三角形的面积公式即可求得△F1MF2的面积．
【解析】
（1）∵双曲线C的离心率为，
∴双曲线为等轴双曲线
∴设双曲线C的方程为nx2-ny2=1
∵双曲线C过点（4，-）
∴16n-10n=1∴n=
∴即为所求．
（2）∵点M（3，m）在双曲线C上
∴m=
由双曲线的对称性知，我们只需证明点M（3，） 满足MF1⊥MF2即可
∴-3，-），
）
∴=0，
∴MF1⊥MF2；
（3）
=•
=
=6．